Analiza domena funkcija fon2017j7

Predmet: Analitička matematika / Priprema za ispit

Cilj zadatka je pronalaženje zajedničkog skupa realnih brojeva $x$ (intersekcije domena) za tri definisane funkcije. Proces rešavanja se zasniva na rigoroznoj proveri uslova definisanosti svake komponente.

1. Analiza funkcije $f_1(x)$

Funkcija je logaritamska: $f_1(x) = \log_3(x^2 - 10x + 21)$.

Uslov definisanosti (argument mora biti pozitivan):

$$x^2 - 10x + 21 > 0$$

Koreni kvadratne jednačine $x^2 - 10x + 21 = 0$ su $x_1 = 3$ i $x_2 = 7$. Pošto je parabola okrenuta prema gore, rešenje je:

$$D_{f_1} = (-\infty, 3) \cup (7, +\infty)$$

2. Analiza funkcije $f_2(x)$

Funkcija je racionalna sa korenom četvrtog stepena: $f_2(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{10x - x^2}}$.

Uslov definisanosti (izraz pod korenom mora biti strogo veći od nule zbog imenioca):

$$10x - x^2 > 0 \implies x(10 - x) > 0$$

Ova parabola je okrenuta nadole, sa nulama u $x=0$ i $x=10$. Rešenje je:

$$D_{f_2} = (0, 10)$$

3. Analiza funkcije $f_3(x)$

Funkcija je kombinovana: $f_3(x) = \frac{\log_4(x^2 + 3)}{\sqrt{4 - x}}$.

Imamo dva uslova:

Argument logaritma: $x^2 + 3 > 0$ (uvek tačno za svako $x \in \mathbb{R}$).
Imenilac: $4 - x > 0 \implies x < 4$.

$$D_{f_3} = (-\infty, 4)$$

4. Finalna intersekcija (Sinteza)

Tražimo presek sva tri skupa:

$$D_{f_1} \cap D_{f_2} \cap D_{f_3} = ((-\infty, 3) \cup (7, +\infty)) \cap (0, 10) \cap (-\infty, 4)$$

Prvo odredimo presek $D_{f_2}$ i $D_{f_3}$:

$$(0, 10) \cap (-\infty, 4) = (0, 4)$$

Zatim dodajemo $D_{f_1}$ na dobijeni rezultat:

$$((-\infty, 3) \cup (7, +\infty)) \cap (0, 4) = (0, 3)$$

Tačan odgovor je: B) $D_{f_1} \cap D_{f_2} \cap D_{f_3} = (0, 3)$