Rešenje zadatka: Kompleksni brojevi

Postavka: Ako kompleksan broj \( z \) zadovoljava jednačinu: $$\overline{z}(4 - 2i) + 3\sqrt{3} + 3i(1 + 2\sqrt{3} + 2i) = 0$$ odrediti vrednost izraza \( Re(z) \cdot Im(z) \).

---

1. Sređivanje izraza

Prvo sređujemo član sa zagradom, vodeći računa o tome da je \( i^2 = -1 \):

$$3i(1 + 2\sqrt{3} + 2i) = 3i + 6i\sqrt{3} + 6i^2 = 3i + 6i\sqrt{3} - 6$$

Sada jednačina postaje:

$$\overline{z}(4 - 2i) + 3\sqrt{3} - 6 + i(3 + 6\sqrt{3}) = 0$$ $$\overline{z}(4 - 2i) = 6 - 3\sqrt{3} - i(3 + 6\sqrt{3})$$

2. Izolacija \(\overline{z}\) i racionalizacija

Delimo desnu stranu brojem \( 4 - 2i \) i množimo konjugovanim parom \( 4 + 2i \):

$$\overline{z} = \frac{6 - 3\sqrt{3} - i(3 + 6\sqrt{3})}{4 - 2i} \cdot \frac{4 + 2i}{4 + 2i}$$

Imenilac postaje: \( 4^2 + 2^2 = 20 \).

Nakon množenja i sređivanja realnih i imaginarnih delova u brojiocu, dobijamo:

$$\overline{z} = \frac{30 - 30i\sqrt{3}}{20} = \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

3. Konačan rezultat

Na osnovu konjugovano kompleksnog broja, određujemo \( z \):

$$z = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

Traženi proizvod realnog i imaginarnog dela je:

$$Re(z) \cdot Im(z) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$