1. Određivanje prvog izvoda \( f'(x) \)

Koristimo pravilo za izvod količnika \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):

$$f'(x) = \frac{(2x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^2 + x + 1)(2x - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}$$

Sređivanjem brojioca dobijamo:

$$f'(x) = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 - x + 1)^2} = \frac{-2(x^2 - 1)}{(x^2 - x + 1)^2}$$

2. Stacionarne tačke

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom kako bismo pronašli potencijalne ekstreme:

$$f'(x) = 0 \implies -2(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1$$

Dobijamo dve kritične tačke: \( x_1 = 1 \) i \( x_2 = -1 \).

3. Računanje ekstremnih vrednosti

Vrednosti \( x \) vraćamo u početnu funkciju \( f(x) \):

• Za \( x = 1 \): $$f(1) = \frac{1^2 + 1 + 1}{1^2 - 1 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \quad (\text{Najveća vrednost } M)$$
• Za \( x = -1 \): $$f(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) + 1}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{1}{3} \quad (\text{Najmanja vrednost } m)$$

4. Konačan obračun

Proizvod najmanje (\( m \)) i najveće (\( M \)) vrednosti iznosi:

$$m \cdot M = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$$